Com os cálculos finalizado podemos afirmar que:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f'(x) = 5 ^{x } \cdot \ln{5} + 2e^{x} - \dfrac{4}{x} + 35x^{4} -6x^{2} } $ }[/tex]
O processo de encontrar uma derivada é chamado derivação ou diferenciação.
Derivada da função constante.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = k \implies f'(x) = 0 } $ }[/tex]
Derivada da função potência.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = x^{n} \implies f'(x) =n \cdot x^{n-1} } $ }[/tex]
Derivada do produto de uma constante por uma função.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ g(x) = k \cdot f(x) \implies g'(x) = k \cdot f'(x) } $ }[/tex]
Derivada da função exponencial.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{y = a^{x } \implies y' = a^{x} \cdot \ln {a} } $ }[/tex]
Derivada da função logarítmica.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = \ln{x} \implies y' = \dfrac{1}{x} } $ }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = 5 ^{x } + 2e^{x} - 4\ln {x} + 7x^{5} - 2x^{3} + 1 0 } $ }[/tex]
Resolução:
Resolvendo, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = 5^{x} \implies y' = 5^{x} \cdot \ln{5} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = 2e^{x} \implies y' = 2 \cdot e^{x} \cdot \ln{e} = 2 e^{x} } $ }[/tex]
Mas:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \ln{e} = \log_e e = 1, ~ logo ~y' = e^{x} \cdot 1 = e^{x} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = 4\, \ln{x} \implies y' = 4 \cdot \dfrac{1}{x} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = 7x^{5} \implies f'(x) = 7 \cdot 5 \cdot x^{5-1 } = 35 x^{4} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = 2x^{3} \implies f'(x) = 2 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 6x^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = 10 \implies f'(x) = 0 } $ }[/tex]
Substituindo na expressão, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = 5 ^{x } + 2e^{x} - 4\ln {x} + 7x^{5} -2x^{3} + 1 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f'(x) = 5 ^{x } \cdot \ln{5} + 2e^{x} - \dfrac{4}{x} + 35x^{4} -6x^{2} + 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f'(x) = 5 ^{x } \cdot \ln{5} + 2e^{x} - \dfrac{4}{x} + 35x^{4} -6x^{2} } $ }[/tex]
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