[tex](2x+1)^{4} = 16x^{4} + 32x^{3} + 24x^{2} +8x +1[/tex]
Para o desenvolvimento usamos o triangulo de pascal,
[tex]1\\11\\121\\1331\\14641[/tex]
quando n = 0 temos
[tex](a+b)^{0}=1[/tex]
quando n = 1 temos
[tex](a+b)^{1}=a+b[/tex]
quando n = 2 temos
[tex](a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}[/tex]
quando n = 3 temos
[tex](a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2} b+3ab^{2}+b^{3}[/tex]
quando n = 4 temos
[tex](a+b)^{4}=1a^{4}+4a^{3}b+6a^{2} b^{2} +4ab^{3}+1b^{4}[/tex]
Observe a formação dos numeros que antecedem cada termo, veja que eles formam o triangulo de pascal, a 4ª linha por exemplo:
[tex](a+b)^{4}=1a^{4}+4a^{3}b+6a^{2} b^{2} +4ab^{3}+b^{4}[/tex]
2.
[tex](2x+1)^{4}[/tex]
Primeiro colocamos os numeros referentes a 4ª linha (1 4 6 4 1 )
[tex](a+b)^{4} = 14641\\[/tex]
o termo "a" recebe o mesmo expoente e vai diminuindo
[tex](a+b)^{4} = 1a^{4}+ 4a^{3}+ 6a^{2} +4a+1\\[/tex]
no termo "b" ocorre o inverso, recebo o expoente 0 e vai aumentando
[tex](a+b)^{4} = 1a^{4}(b^{0}=0) + 4a^{3}b^{1} +6a^{2}b^{2}+4ab^{3} +1b^{4}[/tex]
Então
[tex](2x+1)^{4}[/tex]
[tex](2x+1)^{4} = 1(2x)^{4}(b^{0}=0) + 4(2x)^{3}1^{1} + 6(2x)^{2}1^{2} +4(2x)1^{3} +1^{4} \\(2x+1)^{4} = 16x^{4} + 32x^{3} + 24x^{2} +8x +1\\ (2x+1)^{4} = 16x^{4} + 32x^{3} + 24x^{2} +8x +1[/tex]
Pronto, desenvolvido!
[tex](2x+1)^{4} = 16x^{4} + 32x^{3} + 24x^{2} +8x +1[/tex]
